Сколько кубов в брусе 100х100х6000: Цена куба бруса 100х100 цена за куб в Москве: Пиломатериал в кубах

Сколько кубов в брусе 100х100х6000 в Иркутске: 500-товаров: бесплатная доставка, скидка-10% [перейти]

Партнерская программаПомощь

Иркутск

Каталог

Каталог Товаров

Одежда и обувь

Одежда и обувь

Стройматериалы

Стройматериалы

Здоровье и красота

Здоровье и красота

Текстиль и кожа

Текстиль и кожа

Детские товары

Детские товары

Продукты и напитки

Продукты и напитки

Электротехника

Электротехника

Дом и сад

Дом и сад

Промышленность

Промышленность

Мебель и интерьер

Мебель и интерьер

Вода, газ и тепло

Вода, газ и тепло

Все категории

ВходИзбранное

22 000

Профилированный брус 100х100х6000 (Цена-Куб)

ПОДРОБНЕЕ

14 500

Брус обрезной 100х100х6000 1-й сорт (ТУ)

ПОДРОБНЕЕ

17 000

Сухой обрезной брус 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

24 500

Брус обрезной 100х100х6000 ГОСТ Ивантеевка 1-й сорт

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной 100х100х6000 из лиственницы

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной осина 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

17 000

Брус обрезной Сухой 100х100х6000мм

ПОДРОБНЕЕ

18 000

Брус сухой строганный 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

Брус нестроганый 100х100х6000мм хвоя / 16шт в кубе

ПОДРОБНЕЕ

Брус из лиственницы 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

35 000

Брус строганный 100х100х6000 из лиственницы

ПОДРОБНЕЕ

Рэст Брус обрезной 100Х100Х6000 ГОСТ ель

ПОДРОБНЕЕ

11 523

Брус обрезной рабочего сечения 1 сорта 100х100х6000 мм (Единица измерения: м3)

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной 100х100х6000 мм, сорт-1

ПОДРОБНЕЕ

Клееный брус 1 сорт 100х100х6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

Брус лиственница 150мм 200мм 6м

ПОДРОБНЕЕ

14 000

Брус обрезной от производителя 100х100х6000 1 сорт — Сосна

ПОДРОБНЕЕ

11 900

Брус сухой строганный 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

22 500

Брус строганный 100х100х6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

10 000

Брус обрезной от производителя 100х100х6000 2 сорт — Ель

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной 100х100х6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

Брус строганный сухой сосна 100х100х6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

Брус сухой строганный 100х100х6000 (90х90х6000)

ПОДРОБНЕЕ

Брус строганный Лиственница 100х100х6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

Брус сухой строганный из Сибирской Лиственницы 100х100х6000

ПОДРОБНЕЕ

21 000

Брус строганный сухой 100х100х6000 (90х90х6000)

ПОДРОБНЕЕ

Брус обрезной 100х100х6000 ГОСТ, 1 сорт Тип: брус, Порода дерева: ель, сосна, Длина: 6000 мм

ПОДРОБНЕЕ

2 страница из 18

Сколько кубов в брусе 100х100х6000

звезд и полос

\(\def\d{\displaystyle} \def\курс{Математика 228} \ новая команда {\ f} [1] {\ mathfrak # 1} \ новая команда {\ s} [1] {\ mathscr # 1} \def\N{\mathbb N} \def\B{\mathbf{B}} \def\circleA{(-. {-1}} \def\nrml{\triangleleft} \ деф \ ст {:} \ деф \ ~ {\ широкая тильда} \def\rem{\mathcal R} \def\sigalg{$\sigma$-алгебра } \def\Гал{\mbox{Гал}} \def\iff{\leftrightarrow} \def\If{\Leftrightarrow} \ деф \ земля {\ клин} \def\И{\bigwedge} \защита\вход{\вход} \def\AAnd{\d\bigwedge\mkern-18mu\bigwedge} \def\Ви{\bigvee} \def\VVee{\d\Vee\mkern-18mu\Vee} \ деф \ имп {\ стрелка вправо} \def\Imp{\Rightarrow} \def\Fi{\Leftarrow} \def\var{\mbox{var}} \def\Th{\mbox{Th}} \защита\вход{\вход} \def\sat{\mbox{Sat}} \def\con{\mbox{Con}} \def\iffmodels{\bmodels\models} \def\dbland{\bigwedge \!\!\bigwedge} \def\дом{\mbox{дом}} \def\rng{\mbox{диапазон}} \def\isom{\cong} \DeclareMathOperator{\wgt}{wgt} \newcommand{\vtx}[2]{узел[заливка,круг,внутренний интервал=0pt, минимальный размер=4pt,метка=#1:#2]{}} \ новая команда {\ va} [1] {\ vtx {выше} {# 1}} \ новая команда {\ vb} [1] {\ vtx {ниже} {# 1}} \ новая команда {\ vr} [1] {\ vtx {право} {# 1}} \ новая команда {\ vl} [1] {\ vtx {слева} {# 1}} \renewcommand{\v}{\vtx{выше}{}} \def\circleA{(-.

Расследуй!10

Предположим, у вас есть некоторое количество одинаковых кубиков Рубика, которые вы хотите раздать своим друзьям. Представьте, что вы начинаете с одного ряда кубиков.

1. Найдите количество различных способов распределения предоставленных кубиков:

   1. У вас есть 3 кубика, которые нужно раздать 2 людям.

   2. У вас есть 4 кубика, которые нужно раздать 2 людям.

   3. У вас есть 5 кубиков, которые нужно раздать 2 людям.

   4. У вас есть 3 кубика, которые нужно раздать трем людям.

   5. У вас есть 4 кубика, которые нужно раздать трем людям.

   6. У вас есть 5 кубиков, которые нужно раздать трем людям.

2. Предположите, сколькими различными способами можно раздать 7 кубиков 4 людям. Объяснять.

3. Что, если бы каждый человек должен был получить хотя бы один кубик ? Как бы изменились ваши ответы?

Рассмотрим следующую задачу на подсчет:

У вас есть 7 печенек, которые нужно отдать 4 детям. Сколько способов вы можете сделать это?

Подумайте, как вы могли бы решить эту проблему. 7\text{,}\), потому что здесь порядок равен

Это будет предпочтительное представление результата. Поскольку мы можем писать буквы в любом порядке, мы могли бы также написать их в алфавитном порядке для целей подсчета. Итак, сначала мы напишем все буквы А, затем все буквы Б и так далее.

Теперь подумайте, как вы могли бы определить такой результат. Все, что нам действительно нужно сделать, это сказать, когда переходить от одной буквы к другой. Что касается файлов cookie, нам нужно сказать, через сколько файлов cookie мы перестанем давать файлы cookie первому ребенку и начнем давать файлы cookie второму ребенку. А потом через сколько переходим на третьего пацана? А через сколько переходим на четвертую? Итак, еще один способ представления результата выглядит следующим образом:

Зачем мы все это сделали? Все просто: чтобы посчитать, сколько способов раздать 7 печений 4 детям, нам нужно только посчитать, сколько звезд и баров графиков. Но диаграмма звезд и баров — это просто набор символов, несколько звезд и несколько баров. Если бы вместо звездочек и полос мы использовали 0 и 1, это была бы просто битовая строка. Мы умеем их считать.

Прежде чем мы будем слишком волноваться, мы должны убедиться, что действительно любая строка из (в нашем случае) 7 звезд и 3 полосок соответствует другому способу раздачи печенья детям. В частности, рассмотрим такую ​​строку:

Соответствует ли это распространению файлов cookie? Да. Он представляет собой распределение, при котором ребенок А получает 0 печенек (потому что мы переключаемся на ребенка Б до того, как появятся звездочки), ребенок Б получает три куки (три звездочки перед следующей полоской), ребенок С получает 0 печенек (без звездочек перед следующей полоской). а ребенок D получает оставшиеся 4 печенья. Независимо от того, как расположены звезды и полосы, мы можем распространять файлы cookie таким образом. Кроме того, при любом способе распространения файлов cookie мы можем представить это с помощью диаграммы звезд и столбцов. Например, распределение, при котором ребенок А получает 6 печений, а ребенок Б получает 1 печенье, имеет следующую диаграмму:

После всей этой работы мы, наконец, готовы к подсчету. Каждый способ распространения файлов cookie соответствует диаграмме звезд и столбцов с 7 звездами и 3 столбцами. Итак, есть 10 символов, и мы должны выбрать 3 из них в качестве баров. Таким образом:

Пока мы здесь, мы можем также ответить на родственный вопрос: сколько существует способов раздать 7 печенек 4 детям так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну печенюшку? Что вы можете сказать о соответствующих звездочках и гистограммах? Графики должны начинаться и заканчиваться хотя бы одной звездочкой (чтобы дети A и D) получали печенье, а также никакие две полоски не могли быть соседними (чтобы дети B и C не были пропущены). Один из способов обеспечить это — размещать полосы только в местах 9.0045 между

Другой (и более общий) способ решить эту модифицированную задачу — сначала дать каждому ребенку по одному печенью. Теперь оставшиеся 3 печенья можно раздать 4 детям без ограничений. Итак, у нас есть 3 звезды и 3 полосы, всего 6 символов, 3 из которых должны быть полосами. Итак, мы снова видим, что существует \({6 \выберите 3}\) способов распространения файлов cookie.

Звездочки и полоски можно использовать для решения задач, отличных от детей и печенья. Вот несколько примеров:

Пример 1.5.1

Ваша любимая математическая сеть пиццерий предлагает 10 начинок. Сколько пицц можно приготовить, если разрешено 6 начинок? Порядок начинки не имеет значения, но теперь вам разрешены повторы. Таким образом, одна из возможных пицц — это тройная колбаса, двойной ананас и лук.

Solution

Получаем 6 начинок (считая возможные повторы). Представьте каждую из этих начинок в виде звезды. Подумайте о том, чтобы перемещаться по меню по одной начинке за раз: сначала вы видите анчоусы, а затем переходите к следующей, колбасе. Вы говорите «да» колбасе 3 раза (используйте 3 звезды), затем переключаетесь на следующую начинку в списке. Вы продолжаете пропускать, пока не дойдете до ананаса, на который дважды соглашаетесь.

Теперь, когда мы уверены, что у нас правильное количество звездочек и полосок, мы отвечаем на вопрос просто: есть 6 звездочек и 9 полосок, значит, 15 символов. Нам нужно выбрать 9 из них, чтобы они были барами, поэтому возможное количество пицц равно

. \begin{уравнение*} {15 \ выберите 9}. \end{уравнение*}

Пример 1.5.2

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых цифры не возрастают? То есть каждая цифра меньше или равна предыдущей.

Решение

Нам нужно выбрать 7 цифр, поэтому мы будем использовать 7 звезд. Полосы будут представлять собой переход от каждого возможного однозначного числа к следующему меньшему числу.

. \begin{уравнение*} |*||**|*|||**|*| \end{уравнение*}

Для каждой цифры (0-9) есть 10 вариантов, поэтому мы должны переключаться между вариантами 9 раз. У нас 7 звездочек и 9 полосок, поэтому общее количество телефонных номеров

\begin{уравнение*} {16 \ выберите 9}. \end{уравнение*}

Пример 1.5.3

Сколько целочисленных решений есть у уравнения

( целочисленное решение уравнения — это решение, в котором неизвестное должно иметь целочисленное значение.)

1. где \(x_i \ge 0\) для каждого \(x_i\text{?}\)

2. где \(x_i > 0\) для каждого \(x_i\text{?}\)

3. где \(x_i \ge 2\) для каждого \(x_i\text{?}\)

Решение

Эта задача аналогична раздаче 13 печенек пятерым детям. Нам нужно сказать, сколько из 13 единиц приходится на каждую из 5 переменных. Другими словами, у нас есть 13 звездочек и 4 полосы (полосы похожи на знаки «+» в уравнении).

1. Если \(x_i\) может быть 0 или больше, мы находимся в стандартном случае без ограничений. Таким образом, 13 звезд и 4 полоски можно расположить \({17 \выбрать 4}\) способами.

2. Теперь каждая переменная должна быть не меньше 1. Поэтому дайте одну единицу каждой переменной, чтобы удовлетворить этому ограничению. Теперь осталось 8 звездочек и еще 4 полоски, поэтому число решений равно \({12 \выбрать 4}\text{.}\)

3. Теперь каждая переменная должна быть 2 или больше. Итак, перед любым подсчетом дайте каждой переменной 2 единицы. Теперь у нас осталось 3 звездочки и 4 полоски, значит, есть \({7 \выбрать 4}\) решений.

Счет с функциями

Многие задачи на подсчет в этом разделе могут на первый взгляд показаться примерами подсчета функций . 7 = 16384\text{.}\) Что здесь происходит?

Когда мы считаем функции, мы считаем, например, следующие две функции разными:

Но эти две функции будут соответствовать тому же распределению файлов cookie : дети \(a\) и \(b\) получают по одному файлу cookie, ребенок \(c\) получает остальные (и ничего для ребенка \(d\). )).

Дело в том, что элементы домена различимы, куки неразличимы. Это аналогично различию между перестановками (например, счетными функциями) и комбинациями (нет).

ПодразделУпражнения

1

Мультимножество — это набор объектов, такой же, как набор, но может содержать объект более одного раза (порядок элементов при этом не имеет значения). Например, \(\{1,1, 2, 5, 5, 7\}\) — это мультимножество размера 6.

1. Сколько наборов размера 5 можно составить, используя 10 цифр от 0 до 9?

2. Сколько комплектов multi размера 5 можно составить, используя 10 цифр от 0 до 9?

Решение

1. \({10\выберите 5}\) наборов. Мы должны выбрать 5 из 10 цифр, чтобы поместить их в набор.

2. Используйте звездочки и полосы: каждая звездочка представляет один из 5 элементов набора, каждая полоса представляет собой переключение между цифрами. Так что есть 5 звезд и 9баров, что дает нам \({14 \выбрать 9}\) наборов.

2

Каждую из приведенных ниже задач на счет можно решить с помощью звездочек и полосок. Для каждого скажите, какой результат на диаграмме

показывает, правильное ли количество звездочек и полосок соответствует задаче. В противном случае скажите, почему диаграмма не представляет никакого результата и как должна выглядеть правильная диаграмма.

1. Сколькими способами можно выбрать горсть 6 мармеладок из банки с 5 разными вкусами?

2. Сколькими способами можно раздать 5 одинаковых леденцов 6 детям?

3. Сколько слов из 6 букв можно составить, используя 5 гласных?

4. Сколько решений есть у уравнения \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6\text{.}\)

Решение

1. Вы берете 3 клубники, 1 лайм, 0 солодки, 2 черники и 0 жевательной резинки.

2. Это наоборот. Мы не хотим, чтобы звезды представляли детей, потому что дети не идентичны, но звезды идентичны. Вместо этого мы должны использовать 5 звезд (для леденцов) и использовать 5 полосок для переключения между 6 детьми. Например,

   \begin{уравнение*} **||***||| \end{уравнение*} Число

   будет означать, что первый ребенок получит 2 леденца, третий — 3, а остальные — ни одного.

3. Это слово АААЕОО.

4. Это не решение. Каждая звездочка должна представлять одну из 6 единиц, которые в сумме дают 6, а столбики должны переключаться между различными переменными. У нас слишком много баров. Пример правильной диаграммы будет

   \begin{уравнение*} *|**||***, \end{уравнение*}

   , что означает, что \(x_1 = 1\text{,}\) \(x_2 = 2\text{,}\) \(x_3 = 0\text{,}\) и \(x_4 = 3\text{.} \)

3

После урока физкультуры вам нужно разложить 14 одинаковых вышибалов по 5 корзинам.

1. Сколькими способами можно это сделать, если нет ограничений?

2. Сколькими способами это можно сделать, если в каждой ячейке должен быть хотя бы один вышибалы?

Решение

1. \({18 \выбрать 4}\) способов. Каждый результат может быть представлен последовательностью из 14 звездочек и 4 полосок.
2. \({13 \выбрать 4}\) способов. Сначала положите по одному мячу в каждую корзину. Это оставляет 9 звезд и 4 полоски.

4

Сколько целочисленных решений уравнения \(x + y + z = 8\), для которого

1. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \(z\) все положительны?
2. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \(z\) неотрицательны?
3. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \(z\) больше, чем \(-3\text{. }\)

Решение

1. \({7 \выберите 2}\) решения. После того, как каждая переменная получает 1 звезду бесплатно, у нас остается 5 звезд и 2 полоски.
2. \({10 \выберите 2}\) решений. У нас есть 8 звезд и 2 бара.
3. \({19 \выбрать 2}\) решений. Эта задача эквивалентна нахождению числа решений \(x’ + y’ + z’ = 17\), где \(x’\text{,}\) \(y’\) и \(z’\) неотрицательны. (На самом деле мы просто делаем замену. Пусть \(x = x’- 3\text{,}\) \(y = y’-3\) и \(z = z’-3\)).

5

Используя цифры от 2 до 8, найдите количество различных пятизначных чисел, таких что:

1. Цифры не могут повторяться и должны быть записаны в возрастающем порядке. Например, 23678 — это нормально, а 32678 — нет.

2. Цифры могут повторяться и должны быть записаны в неубывающем порядке. Например, 24448 — это нормально, а 24484 — нет.

Решение

1. Есть \({7 \выберите 5}\) чисел. Мы просто выбираем пять из семи цифр и после выбора ставим их в порядке возрастания.

2. Для этого требуются звезды и полосы. Используйте звездочку, чтобы представить каждую из 5 цифр в числе, и используйте их положение относительно полос, чтобы сказать, какая цифра заполняет это место. Таким образом, у нас будет 5 звездочек и 6 полосок, что дает \({11 \выбрать 6}\) чисел.

6

Играя в Ятзи, вы бросаете пять обычных шестигранных кубиков. Сколько различных исходов возможно из одного броска? Порядок кубиков не имеет значения.

7

Ваша подруга говорит вам, что у нее в руке 7 монет (только пенни, пятаки, десять центов и четвертак). Если вы угадаете, сколько у нее монет каждого вида, она даст их вам. Если вы угадаете наугад, какова вероятность того, что вы окажетесь правы?

8

Сколько существует целочисленных решений \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25\), для которых \(x_1 \ge 1\text{,}\) \(x_2 \ge 2\text{,}\) \ (x_3 \ge 3\) и \(x_4 \ge 4\text{?}\)

9

Решите три задачи на подсчет ниже. Затем скажите, почему логично, что у всех один и тот же ответ. То есть сказать, как вы можете интерпретировать их как друг друга.

1. Сколько существует способов раздать 8 печенья трем детям?

2. Сколько существует решений в неотрицательных целых числах для \(x+y+z = 8\text{?}\)

3. Сколько разных упаковок по 8 мелков можно сделать, используя мелки красного, синего и желтого цветов?

10

Рассмотрим функции \(f:\{1,2,3,4,5\} \to \{0,1,2,\ldots,9\}\text{.}\)

1. Сколько из этих функций строго возрастают? Объяснять. (Функция строго возрастает, если \(a \lt b\text{,}\), то \(f(a) \lt f(b)\text{.}\))

2. Сколько функций неубывающих? Объяснять. (Функция неубывающая, если \(a \lt b\text{,}\), то \(f(a) \le f(b)\text{.}\))

11

Conic , ваш любимый ресторан быстрого питания с математической тематикой предлагает 20 вкусов, которые можно добавить в газировку. У вас достаточно денег, чтобы купить большую газировку с 4 вкусами. Сколько различных содовых напитков вы можете заказать, если:

1. Вы отказываетесь использовать какой-либо из ароматизаторов более одного раза?

2. Вы отказываетесь от повторов, но заботитесь о порядке добавления вкусов?

3. Вы позволяете себе несколько порций одного и того же вкуса? 94\) газированные напитки (порядок имеет значение и разрешены повторы; 20 вариантов 4 раза).

Дискретная математика: открытое введение, 3-е издание

Расследовать!

Предположим, у вас есть некоторое количество одинаковых кубиков Рубика, которые вы хотите раздать своим друзьям. Представьте, что вы начинаете с одного ряда кубиков.

1. Найдите количество различных способов распределения предоставленных кубиков:

   1. У вас есть 3 кубика, которые нужно раздать 2 людям.

   2. У вас есть 4 кубика, которые нужно раздать 2 людям.

   3. У вас есть 5 кубиков, которые нужно раздать 2 людям.

   4. У вас есть 3 кубика, которые нужно раздать трем людям.

   5. У вас есть 4 кубика, которые нужно раздать трем людям.

   6. У вас есть 5 кубиков, которые нужно раздать трем людям.

2. Предположите, сколькими различными способами можно раздать 7 кубиков 4 людям. Объяснять.

3. Что, если бы каждый человек должен был получить хотя бы один куб ? Как бы изменились ваши ответы?

Рассмотрим следующую задачу на подсчет:

У вас есть 7 печенек, которые нужно раздать 4 детям. Сколько способов вы можете сделать это?

Подумайте, как вы могли бы решить эту проблему. Вы можете предположить, что допустимо не давать ребенку печенье. Кроме того, все куки-файлы идентичны, и порядок, в котором вы выдаете куки-файлы, не имеет значения.

Прежде чем решить задачу, вот неправильный ответ: Вы можете догадаться, что ответ должен быть \(4^7\), потому что для каждого из 7 печенья есть 4 варианта детей, которым вы можете дать печенье. 7\text{,}\), потому что здесь порядок равен не имеет значения . На самом деле другой способ записать тот же результат —

\begin{уравнение*} \mbox{AABCDD} \text{.} \end{equation*}

Это будет предпочтительное представление результата. Поскольку мы можем писать буквы в любом порядке, мы могли бы также написать их в алфавитном порядке для целей подсчета. Итак, сначала мы напишем все буквы А, затем все буквы Б и так далее.

Теперь подумайте, как вы могли бы определить такой результат. Все, что нам действительно нужно сделать, это сказать, когда переходить от одной буквы к другой. Что касается файлов cookie, нам нужно сказать, через сколько файлов cookie мы перестанем давать файлы cookie первому ребенку и начнем давать файлы cookie второму ребенку. А потом через сколько переходим на третьего пацана? А через сколько переходим на четвертую? Итак, еще один способ представления результата выглядит следующим образом:

\begin{уравнение*} ***|*|*|**\текст{. } \end{equation*}

Первому ребенку идет три печенья, затем мы меняем и даем одно печенье второму ребенку, затем переключаем, одно третьему ребенку, переключаем, два четвертому ребенку. Обратите внимание, что нам нужно 7 звездочек и 3 полоски — по одной звездочке на каждое печенье и по одной полоске на каждое переключение между дочерними элементами, поэтому на одну полоску меньше, чем детей (нам не нужно переключаться после последнего дочернего элемента — мы закончили) .

Зачем мы все это сделали? Все просто: чтобы посчитать, сколько способов раздать 7 печений 4 детям, нам нужно только посчитать, сколько звезд и баров графиков. Но диаграмма звезд и баров — это просто набор символов, несколько звезд и несколько баров. Если бы вместо звездочек и полос мы использовали 0 и 1, это была бы просто битовая строка. Мы умеем их считать.

Прежде чем мы будем слишком волноваться, мы должны убедиться, что действительно любая строка из (в нашем случае) 7 звезд и 3 полосок соответствует другому способу раздачи печенья детям. В частности, рассмотрим такую ​​строку:

\begin{уравнение*} |***||****\текст{.} \end{equation*}

Соответствует ли это распространению файлов cookie? Да. Он представляет собой распределение, при котором ребенок А получает 0 печенек (потому что мы переключаемся на ребенка Б до того, как появятся звездочки), ребенок Б получает три куки (три звездочки перед следующей полоской), ребенок С получает 0 печенек (без звездочек перед следующей полоской). а ребенок D получает оставшиеся 4 печенья. Независимо от того, как расположены звезды и полосы, мы можем распространять файлы cookie таким образом. Кроме того, при любом способе распространения файлов cookie мы можем представить это с помощью диаграммы звезд и столбцов. Например, распределение, при котором ребенок А получает 6 печений, а ребенок Б получает 1 печенье, имеет следующую диаграмму:

\begin{уравнение*} ******|*||\текст{.} \end{equation*}

После всей этой работы мы, наконец, готовы считать. Каждый способ распространения файлов cookie соответствует диаграмме звезд и столбцов с 7 звездами и 3 столбцами. Итак, есть 10 символов, и мы должны выбрать 3 из них в качестве баров. Таким образом:

\begin{уравнение*} \mbox{ Существует } {10 \выберите 3}\mbox{ способов раздать 7 файлов cookie 4 детям}\text{.} \end{equation*}

Пока мы здесь, мы можем также ответить на связанный с этим вопрос: сколько существует способов раздать 7 файлов cookie 4 детям, чтобы каждый ребенок получил хотя бы одно печенье? Что вы можете сказать о соответствующих звездочках и гистограммах? Графики должны начинаться и заканчиваться хотя бы одной звездочкой (чтобы дети A и D) получали печенье, а также никакие две полоски не могли быть соседними (чтобы дети B и C не были пропущены). Один из способов обеспечить это — размещать полосы только в местах 9.0045 между звездами. При 7 звездах между звездами 6 точек, поэтому мы должны выбрать 3 из этих 6 точек, чтобы заполнить их полосами. Таким образом, есть \({6 \выбрать 3}\) способов раздать 7 печенек 4 детям, дав хотя бы по одной печенюшке каждому ребенку.

Другой (и более общий) способ решить эту модифицированную задачу — сначала дать каждому ребенку по одному печенью. Теперь оставшиеся 3 печенья можно раздать 4 детям без ограничений. Итак, у нас есть 3 звезды и 3 полосы, всего 6 символов, 3 из которых должны быть полосами. Итак, мы снова видим, что существует \({6 \выберите 3}\) способов распространения файлов cookie.

Звездочки и полоски можно использовать для решения задач, отличных от детей и печенья. Вот несколько примеров:

Пример 1.5.1.

Ваше любимое математическое кафе-мороженое предлагает 10 вкусов. Сколько молочных коктейлей вы могли бы приготовить, используя ровно 6, не обязательно разных мерных ложек? Порядок добавления ароматизаторов не имеет значения (они все равно будут смешиваться), но вам разрешены повторы. Таким образом, один из возможных коктейлей — это тройной шоколад, двойная вишня и мятная шоколадная стружка.

Раствор.

Получаем шесть шариков, каждый из которых может быть одним из десяти возможных вкусов. Представьте каждую ложку в виде звезды. Подумайте о том, чтобы спускаться по прилавку по одному вкусу за раз: сначала вы видите ваниль, а затем переходите к следующему, шоколадному. Вы говорите «да» шоколаду три раза (используйте три звезды), затем переключаетесь на следующий вкус. Вы продолжаете пропускать, пока не дойдете до вишенки, на что дважды соглашаетесь. Еще один переключатель, и вы на мятной шоколадной стружке. Вы говорите «да» один раз. Затем вы продолжаете переключаться, пока не пройдете последний вариант, никогда больше не говоря «да» (поскольку вы уже сказали «да» шесть раз). Есть десять вкусов на выбор, поэтому мы должны переключаться с рассмотрения одного вкуса на следующие девять раз. Это девять баров.

Теперь, когда мы уверены, что у нас правильное количество звездочек и полосок, отвечаем на вопрос просто: звездочек 6 и полосок 9, значит, 15 символов. Нам нужно выбрать из них 9 батончиков, поэтому возможное количество молочных коктейлей равно

\begin{equation*} \бином{15}{9}\текст{. } \end{уравнение*}

Пример 1.5.2.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых цифры не возрастают? То есть каждая цифра меньше или равна предыдущей.

Раствор.

Нам нужно выбрать 7 цифр, поэтому мы будем использовать 7 звезд. Полосы будут представлять собой переход от каждого возможного однозначного числа к следующему меньшему. Таким образом, номер телефона 866-5221 представлен диаграммой звезд и столбцов

\begin{equation*} |*||**|*|||**|*|\текст{.} \end{equation*}

Для каждой цифры (0-9) есть 10 вариантов, поэтому мы должны переключаться между вариантами 9 раз. У нас 7 звездочек и 9 полосок, поэтому общее количество телефонных номеров

\begin{уравнение*} {16 \выберите 9}\текст{.} \end{уравнение*}

Пример 1.5.3.

Сколько целочисленных решений есть у уравнения

\begin{уравнение*} х_1 + х_2 + х_3 + х_4 + х_5 = 13\текст{.} \end{equation*}

( целочисленное решение уравнения — это решение, в котором неизвестное должно иметь целочисленное значение. )

1. где \(x_i \ge 0\) для каждого \(x_i\) текст{?}\)

2. где \(x_i > 0\) для каждого \(x_i\text{?}\)

3. где \(x_i \ge 2\) для каждого \(x_i\text{?}\)

Раствор.

Эта задача аналогична раздаче 13 печенек пятерым детям. Нам нужно сказать, сколько из 13 единиц приходится на каждую из 5 переменных. Другими словами, у нас есть 13 звездочек и 4 полосы (полосы похожи на знаки «+» в уравнении).

1. Если \(x_i\) может быть 0 или больше, мы находимся в стандартном случае без ограничений. Таким образом, 13 звезд и 4 полоски можно расположить \({17 \выбрать 4}\) способами.

2. Теперь каждая переменная должна быть не меньше 1. Поэтому дайте одну единицу каждой переменной, чтобы удовлетворить этому ограничению. Теперь осталось 8 звездочек и еще 4 полоски, поэтому количество решений равно \({12 \выбрать 4}\текст{.}\)

3. Теперь каждая переменная должна быть 2 или больше. Итак, перед любым подсчетом дайте каждой переменной 2 единицы. Теперь у нас осталось 3 звездочки и 4 полоски, значит, есть \({7 \выбрать 4}\) решений.

Счет с функциями.

Многие задачи на счет в этом разделе могут на первый взгляд показаться примерами счета 97 = 16384\text{.}\) Что здесь происходит?

Когда мы считаем функции, мы считаем, например, следующие две функции разными:

\begin{уравнение*} f = \twoline{1 \amp 2 \amp 3 \amp 4\amp 5 \amp 6 \amp 7}{a \amp b \amp c \amp c \amp c \amp c \amp c} \qquad g = \twoline{1 \amp 2 \amp 3 \amp 4\amp 5 \amp 6 \amp 7}{b \amp a \amp c \amp c \amp c \amp c \amp c}\text{.} \end{уравнение*}

Но эти две функции будут соответствовать тому же распределению файлов cookie : дети \(a\) и \(b\) получают по одному файлу cookie, ребенок \(c\) получает остальные (и ничего для ребенка \(d\). )).

Суть: элементы домена различаются, куки неразличимы. Это аналогично различию между перестановками (например, счетными функциями) и комбинациями (нет).

Упражнения Упражнения

1.

Мультимножество — это набор объектов, такой же, как набор, но может содержать объект более одного раза (порядок элементов при этом не имеет значения). Например, \(\{1,1, 2, 5, 5, 7\}\) — это мультимножество размера 6.

1. Сколько наборов размера 5 можно составить, используя 10 цифровых цифр от 0 до 9?

2. Сколько комплектов multi размера 5 можно составить, используя 10 цифр от 0 до 9?

Раствор.

1. \({10\выберите 5}\) наборов. Мы должны выбрать 5 из 10 цифр, чтобы поместить их в набор.

2. Используйте звездочки и полосы: каждая звездочка представляет один из 5 элементов набора, каждая полоса представляет собой переключение между цифрами. Так что есть 5 звезд и 9баров, что дает нам \({14 \выбрать 9}\) наборов.

2.

Используя цифры от 2 до 8, найдите количество различных пятизначных чисел, таких что:

1. Цифры не могут повторяться и должны быть записаны в возрастающем порядке. Например, 23678 — это нормально, а 32678 — нет.

2. Цифры могут повторяться и должны быть записаны в неубывающем порядке. Например, 24448 — это нормально, а 24484 — нет.

Раствор.

1. Есть \({7 \выбрать 5}\) номеров. Мы просто выбираем пять из семи цифр и после выбора ставим их в порядке возрастания.

2. Для этого требуются звезды и полосы. Используйте звездочку, чтобы представить каждую из 5 цифр в числе, и используйте их положение относительно полос, чтобы сказать, какая цифра заполняет это место. Таким образом, у нас будет 5 звездочек и 6 полосок, что дает \({11 \выбрать 6}\) чисел.

3.

Каждую из приведенных ниже задач на счет можно решить с помощью звездочек и полосок. Для каждого скажите, какой результат на диаграмме

\begin{уравнение*} ***|*||**| \end{уравнение*}

показывает, правильное ли количество звездочек и полосок соответствует задаче. В противном случае скажите, почему диаграмма не представляет никакого результата и как должна выглядеть правильная диаграмма.

1. Сколькими способами можно выбрать горсть 6 мармеладок из банки с 5 разными вкусами?

2. Сколькими способами можно раздать 5 одинаковых леденцов 6 детям?

3. Сколько слов из 6 букв можно составить, используя 5 гласных в алфавитном порядке?

4. Сколько решений есть у уравнения \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6\text{.}\)

Раствор.

1. Вы берете 3 клубники, 1 лайм, 0 солодки, 2 черники и 0 жевательной резинки.

2. Это наоборот. Мы не хотим, чтобы звезды представляли детей, потому что дети не идентичны, но звезды идентичны. Вместо этого мы должны использовать 5 звезд (для леденцов) и использовать 5 полосок для переключения между 6 детьми. Например,

   \begin{уравнение*} **||***||| \end{уравнение*}

   Число

   будет означать, что первый ребенок получит 2 леденца, третий — 3, а остальные — ни одного.

3. Это слово АААЕОО.

4. Это не решение. Каждая звездочка должна представлять одну из 6 единиц, которые в сумме дают 6, а столбики должны переключаться между различными переменными. У нас слишком много баров. Пример правильной диаграммы будет

   \begin{уравнение*} *|**||***\текст{,} \end{уравнение*}

   , что означает, что \(x_1 = 1\text{,}\) \(x_2 = 2\text{,}\) \(x_3 = 0\text{,}\) и \(x_4 = 3\text{.} \)

4.

После урока физкультуры вам нужно разложить 14 одинаковых вышибалов по 5 корзинам.

1. Сколькими способами можно это сделать, если нет ограничений?

2. Сколькими способами это можно сделать, если в каждой ячейке должен быть хотя бы один вышибалы?

Раствор.

1. \({18 \выбрать 4}\) способов. Каждый результат может быть представлен последовательностью из 14 звездочек и 4 полосок.

2. \({13 \выбрать 4}\) способов. Сначала положите по одному мячу в каждую корзину. Это оставляет 9 звезд и 4 полоски.

5.

Сколько целых решений есть у уравнения \(x + y + z = 8\), для которого

1. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \( z\) все положительны?

2. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \(z\) неотрицательны?

3. \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) и \(z\) больше или равно \(-3\text{.}\)

Раствор.

1. \({7 \выберите 2}\) решений. После того, как каждая переменная получает 1 звезду бесплатно, у нас остается 5 звезд и 2 полоски.

2. \({10 \выберите 2}\) решений. У нас есть 8 звезд и 2 бара.

3. \({19 \выберите 2}\) решения. Эта задача эквивалентна нахождению числа решений \(x’ + y’ + z’ = 17\), где \(x’\text{,}\) \(y’\) и \(z’\) неотрицательны. (На самом деле мы просто делаем замену. Пусть \(x = x’- 3\text{,}\) \(y = y’-3\) и \(z = z’-3\)).

6.

Играя в Ятзи, вы бросаете пять обычных шестигранных кубиков. Сколько различных исходов возможно из одного броска? Порядок кубиков не имеет значения.

Раствор.

\({10 \выбрать 5}\) результатов.

7.

Ваша подруга говорит вам, что у нее в руке 7 монет (только пенни, пятаки, десять центов и четвертак). Если вы угадаете, сколько у нее монет каждого вида, она даст их вам. Если вы угадаете наугад, какова вероятность того, что вы окажетесь правы?

Раствор.

Возможны \({10 \выберите 3} = 120\) различных комбинаций монет. Таким образом, у вас есть 1 из 120 шансов угадать правильно.

8.

Сколько существует целочисленных решений \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25\), для которых \(x_1 \ge 1\text{,}\) \(x_2 \ge 2\text{,}\) \ (x_3 \ge 3\) и \(x_4 \ge 4\text{?}\)

Решение.

\({18 \выбрать 15}\) решений. Распределите 10 единиц по переменным, прежде чем найти все решения \(x_1′ + x_2′ + x_3′ + x_4′ = 15\) в неотрицательных целых числах.

9.

Решите три задачи на подсчет ниже. Затем скажите, почему логично, что у всех один и тот же ответ. То есть сказать, как вы можете интерпретировать их как друг друга.

1. Сколько существует способов раздать 8 печенья трем детям?

2. Сколько существует решений в неотрицательных целых числах для \(x+y+z = 8\text{?}\)

3. Сколько разных упаковок по 8 мелков можно сделать, используя мелки красного, синего и желтого цветов?

10.

Рассмотрим функции \(f:\{1,2,3,4,5\} \to \{0,1,2,\ldots,9\}\text{.}\)

1. Сколько из эти функции строго возрастают? Объяснять. (Функция строго возрастает, если \(a \lt b\text{,}\), то \(f(a) \lt f(b)\text{.}\))

2. Сколько функций неубывающих? Объяснять. (Функция неубывающая, если \(a \lt b\text{,}\), то \(f(a) \le f(b)\text{.}\))

Раствор.

1. \({10 \выберите 5}\text{.